Programmation dynamique
Chaîne de multiplications matricielles
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Implémentez l’algorithme vu en cours pour trouver le parenthésage optimal pour la multiplication chaînée de \(n\) matrices \(M_1M_2\cdots M_n\). Votre algorithme doit prendre en entrée une suite de longueur \(n+1\) contenant les dimensions des matrices et doit renvoyer le nombre minimal de produits scalaires que l’on doit effectuer afin de multiplier ces \(n\) matrices ainsi que le parenthésage optimal lié à ce nombre.
Testez votre implémentation pour une suite de matrices dont les dimensions sont données par la séquence \([5, 10, 3, 12, 5, 50, 6]\), c’est-à-dire que la matrice \(M_1\) est de dimension \(5 \times 10\), la matrice \(M_2\) est de dimension \(10 \times 3\), etc. Votre programme doit renvoyer pour cet exemple \(2010\) comme nombre minimal de produit scalaires à effectuer. Le parenthésage optimal associé à ce nombre est \(((M_1M_2)((M_3M_4)(M_5M_6))).\)
Egg drop
Supposons que nous nous retrouvons devant un très haut immeuble avec un sac rempli d’œufs. Tous nos œufs sont identiques et très durs à casser. On s’intéresse à savoir quel est l’étage le plus haut duquel on peut lâcher un œuf sans qu’il ne se casse. Cependant, on souhaite répondre à cette question en cassant le moins d’œufs possible. Notre problème algorithmique peut alors se formuler de la façon suivante :
Étant donné le nombre d’étages de l’immeuble et le nombre d’œufs disponibles, quel est le nombre minimum d’essais qu’on doit faire afin de déterminer l’étage critique, c’est-à-dire l’étage à partir duquel tous les œufs se cassent.
Pour cela nous faisons plusieurs suppositions :
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Un œuf qui survit à une chute peut être réutilisé.
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Un œuf cassé doit être éliminé.
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L’effet de la chute est le même pour tous les œufs.
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Si un œuf se casse lorsqu’il est lâché d’un étage \(i\), alors tout œuf se cassera s’il est lâché d’un étage \(j \ge i\).
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Inversement, si un œuf survit à une chute de l’étage \(i\), alors aucun œuf ne se cassera s’il est lancé d’un étage \(j \leq i\).
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Il est tout à fait possible qu’un œuf se casse dès le rez-de-chaussée et on ne peut pas exclure le fait que les œufs puissent survivre à une chute du dernier étage.
Cas \(n = 1\)
Si nous ne possédons qu’un seul œuf, il n’y a qu’une seule façon de procéder : on lance d’abord l’œuf depuis l’étage 1, ensuite depuis l’étage 2, puis 3, etc. jusqu’à ce que soit l’œuf se casse soit il survit à une chute du tout dernier étage. Dans le pire cas, cette procédure nécessitera \(h\) étapes, et \(h\) est alors la réponse à notre problème.
Problème général avec \(n\) œufs et \(h\) étages.
La stratégie consiste à lâcher un œuf de chaque étage possible (de \(1\) à \(h\)) et calculer récursivement le nombre minimal de lâchers nécessaires dans le pire cas. L’étage qui donne la valeur minimale dans le pire cas fera partie de la solution.
Sous-structure optimale
Quand on lâche un œuf d’un étage \(x\), deux cas sont possibles :
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L’œuf se casse. Si l’œuf se casse à l’étage \(x\), alors nous n’avons qu’à vérifier avec les œufs restants les étages inférieurs à \(x\). Le problème est dans ce cas réduit à un problème avec \(x-1\) étages et \(n-1\) œufs.
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L’œuf ne se casse pas. Si l’œuf ne se casse pas après l’avoir lâché de l’étage \(x\), alors nous n’avons qu’à tester les étages supérieurs à \(x\). Dans ce cas, notre problème se réduit à un problème avec \(h-x\) étages et \(n\) œufs.
Puisque nous cherchons à minimiser le nombre d’essais dans le pire cas, on considère la valeur maximale de ces deux cas et on choisit l’étage qui donne le nombre minimal d’essais.
On note eggDrop(n,h) le nombre minimal d’essais pour trouver l’étage critique (celui à partir duquel les œufs se brisent). Cette valeur peut être calculée de façon récursive en utilisant l’équation récursive suivante :
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Écrire une fonction en Python, qui prend en entrée le nombre d’œufs \(n\) et le nombre d’étages \(h\) et qui renvoie le nombre optimal d’essais en se basant sur l’équation de récurrence ci-dessus.
Testez que pour \(n = 2\) et \(h = 10\) votre programme renvoie \(4\). Testez l’efficacité de votre programme pour des valeurs plus grandes. Que se passe-t-il ? Pourquoi ?
Résoudre le problème à l’aide de la programmation dynamique.
Si vous dessinez l’arbre de la récursivité pour des petites valeurs de \(n\) et de \(h\) vous allez remarquer qu’avec l’approche précédente, certains sous-problèmes sont résolus plus d’une fois. Comme c’est le cas d’autres problèmes typiques de la programmation dynamique, le re-calcul des mêmes sous-problèmes peut être évité en sauvegardant les solutions de chaque sous-problème dans un tableau. Ce tableau sera rempli des valeurs les plus petites aux valeurs les plus élevées.
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Concevoir un algorithme et l’implémenter ensuite en Python pour résoudre le problème selon les principes de la programmation dynamique.